關(guān)于概率，你的直覺(jué)不總是可靠

“我們的大腦生來(lái)就不太會(huì)搞概率，所以這么多人弄錯(cuò)也正常?！?/p>

撰文 秦芊（佛羅里達(dá)大學(xué)統(tǒng)計(jì)系）

編輯 丁家琦

概率作為對(duì)可能性大小的度量，似乎充滿了主觀色彩。明天下雨的可能性有多高？曼聯(lián)奪得下屆英超冠軍的概率有多大？在一盤棋中AlphaGo的獲勝概率是多少？我們身邊的每個(gè)人對(duì)這樣的問(wèn)題都有著不同的答案。

然而，概率似乎又有它自己的鐵律。在帕斯卡等人最初用二項(xiàng)式定理研究賭桌上的勝率時(shí)，人們已經(jīng)意識(shí)到在骰子和輪盤看似不可預(yù)知的行為背后，藏著一套可以被掌握的數(shù)學(xué)規(guī)律。一意孤行或者是聽天由命，違背這套規(guī)律的賭徒可能在一兩個(gè)晚上大獲全勝，卻最終一定會(huì)受到概率的懲罰。隨著人類數(shù)學(xué)與計(jì)算水平的提高，概率論被應(yīng)用到越來(lái)越多的領(lǐng)域之中。在金融、統(tǒng)計(jì)、物理、氣象、生物等諸多學(xué)科，那些依靠直覺(jué)而不是計(jì)算對(duì)可能性進(jìn)行推斷的日子已經(jīng)一去不復(fù)返了。在本文中，我們介紹幾個(gè)概率謎題。它們向我們展示了，對(duì)于概率，直覺(jué)并不總是可靠——但經(jīng)過(guò)足夠的思考和踏實(shí)的實(shí)驗(yàn)與計(jì)算，我們常常能夠戰(zhàn)勝錯(cuò)覺(jué)，抵達(dá)真相。

三門問(wèn)題

上世紀(jì)五十到八十年代，科普作家馬丁·加德納（Martin Gardner）為《科學(xué)美國(guó)人》撰寫了近300期的“數(shù)學(xué)游戲”專欄。在其中一期專欄中[1]，加德納描述了一個(gè)名為“三囚犯”的概率問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)變種后來(lái)成為了網(wǎng)絡(luò)上最著名的概率趣題之一。這一變種（Monty Hall 三門問(wèn)題）的描述如下：

假設(shè)你參與一個(gè)綜藝節(jié)目，并被要求從三扇門中選擇一扇打開：一扇門的背后是獎(jiǎng)品（一輛汽車），另外兩扇門后則各是一只山羊。當(dāng)然，比起山羊，你更希望抽中汽車。你隨機(jī)選擇了一扇門（不妨設(shè)為第一扇）。節(jié)目的主持人知道每扇門背后是什么。看到你的選擇后，他選擇了剩下兩扇門中沒(méi)有獎(jiǎng)品的一扇打開（如果兩扇門后都沒(méi)有獎(jiǎng)品，則以各50%的概率隨機(jī)選擇其中一扇）。不妨假設(shè)他打開了第三扇。接著他問(wèn)你，你想改選第二扇門嗎？為了提高獲獎(jiǎng)概率，你有必要改變你之前的選擇嗎？

（圖片來(lái)源：作者繪制）

這一問(wèn)題的正確答案是，你應(yīng)當(dāng)改選第二扇門——這樣做讓你的中獎(jiǎng)概率從1/3提高到了2/3。1990年，當(dāng)這個(gè)問(wèn)題——以及它的正確答案——在美國(guó)暢銷雜志《Parade》的一個(gè)專欄上重新出現(xiàn)時(shí)，近萬(wàn)名讀者，包括“近千名博士”[2]，寫信給專欄作者瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant），其中絕大部分反對(duì)這一答案。人們似乎認(rèn)為，主持人打開第三扇門后，第一扇門和第二扇門后藏有獎(jiǎng)品的概率都是1/2，因此改選第二扇門并無(wú)好處。面對(duì)滔天的反對(duì)聲，瑪麗蓮據(jù)理力爭(zhēng)，拒不認(rèn)輸，連寫三篇專欄解釋自己的答案。她同時(shí)在專欄上實(shí)名公布了不少讀者來(lái)信。一些反對(duì)的聲音摘抄如下[3]。

“你錯(cuò)了。但看看好的一面：假如那么多博士們都說(shuō)錯(cuò)了，那這個(gè)國(guó)家就麻煩了?！?/p>

“我相信你一定收到了很多來(lái)自高中生和大學(xué)生的來(lái)信。或許你應(yīng)該記下幾個(gè)來(lái)信地址，好在將來(lái)專欄出問(wèn)題時(shí)請(qǐng)教他們?！?/p>

“我希望這次的爭(zhēng)議能夠讓公眾意識(shí)到我們國(guó)家的教育危機(jī)……到底還需要多少個(gè)盛怒的數(shù)學(xué)家才能改變你的想法？”

“或許女人看待數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式和男人不一樣。”

“你就是那只山羊！”

瑪麗蓮笑到了最后[4]。她倡議全美國(guó)的數(shù)學(xué)課堂用紙杯和硬幣模擬三門問(wèn)題，并獲得了中小學(xué)老師們的支持：毫無(wú)疑問(wèn)，改選第二扇門將獲獎(jiǎng)概率提升了一倍。在正確答案終于被確認(rèn)無(wú)誤后，有人提出了一些簡(jiǎn)單的、基于直覺(jué)的推理來(lái)方便人們理解，但這些推理往往又在對(duì)題目稍加改變后失效[4]。時(shí)至今日，學(xué)者們?nèi)匀粚?duì)人們給出錯(cuò)誤答案的原因津津樂(lè)道。這一看上去很簡(jiǎn)單的趣題，卻從各方面給了人們十足的挑戰(zhàn)。

現(xiàn)在給出這個(gè)問(wèn)題的一種解法：我們將計(jì)算出，在主持人打開第二扇門后，獎(jiǎng)品藏在第三扇門后的概率是2/3。

考慮我們的節(jié)目參與者（前文中的“你”）在選擇了第一扇門后、主持人打開第三扇門之前面對(duì)的情形。她可以想象自己等可能地處在許多個(gè)（比如說(shuō)600個(gè)）“平行世界”中的一個(gè)。在其中1/3的，即200個(gè)世界里，獎(jiǎng)品藏在第一扇門后。我們把這些世界標(biāo)記為1到200號(hào)。類似的，在201到400號(hào)世界里，獎(jiǎng)品藏在第二扇門后；在401到600號(hào)世界里，獎(jiǎng)品藏在第三扇門后。

現(xiàn)在，主持人打開了第三扇門。參賽者便意識(shí)到，有一些平行世界被“篩選”了出來(lái)。 具體地說(shuō)，在第1到200號(hào)世界中，第二與第三扇門后都沒(méi)有獎(jiǎng)品，主持人隨機(jī)選擇其中一扇門打開。在這200個(gè)世界中，第三扇門在一半的世界中被打開——我們不妨假設(shè)它們?yōu)榈?01至第200號(hào)世界。在201到400號(hào)世界里，由于獎(jiǎng)品在第二扇門背后，主持人總是選擇第三扇門打開。而在401到600號(hào)世界里，由于獎(jiǎng)品本就在第三扇門背后，主持人不可能打開第三扇門——一旦參賽者看到第三扇門被打開，她就能確定自己必定不處在這200個(gè)世界之中。

綜合來(lái)考慮，我們發(fā)現(xiàn)在第三扇門打開后，參賽者等可能地存在于第101號(hào)到400號(hào)世界之中。在其他的300個(gè)世界中，第三扇門都沒(méi)有被打開，因此她必不處在其中任何一個(gè)?，F(xiàn)在，我們只需要數(shù)數(shù)在第三扇門被打開的300個(gè)世界中，有多少個(gè)的獎(jiǎng)品藏在第二扇門中。顯然，這樣的世界有200個(gè)（201號(hào)到400號(hào)）。因此改選第二扇門獲獎(jiǎng)的概率為200/300=2/3。

表格1 各種情況發(fā)生的世界。因?yàn)橹鞒秩舜蜷_了第三扇門，參與者只可能處在101-400號(hào)（黃色）的世界中。括號(hào)中的數(shù)字為各種情況在所有世界中所占的比例。

獎(jiǎng)品位置

主持人打開的門

世界編號(hào)

第一扇門

(1/3)

第二扇門

(1/3×1/2)

1-100

(1/6)

第三扇門

(1/3×1/2)

101-200

(1/6)

第二扇門

(1/3)

第三扇門

(1/3)

201-400

(1/3)

第三扇門

(1/3)

第二扇門

(1/3)

401-600

(1/3)

在上述的推導(dǎo)中，101號(hào)到400號(hào)平行世界被概率學(xué)家們稱作“樣本空間”。它是在我們計(jì)算概率時(shí)所有可能性的總體。在這個(gè)問(wèn)題中，它包含了所有“第三扇門被主持人打開”的可能情況。我們所計(jì)算的概率，則被稱為在“第三扇門被主持人打開”的情況下，“獎(jiǎng)品在第二扇門后”的“條件概率”?？梢哉f(shuō)，在古典概率論中，除了語(yǔ)焉不詳?shù)谋硎鐾猓瑳](méi)有什么比條件概率更容易產(chǎn)生違反直覺(jué)的結(jié)論了。

癌癥篩查結(jié)果呈陽(yáng)性，先別慌？

下面這道教材中經(jīng)典的題目[5]，就是條件概率在實(shí)際生活中沖擊直覺(jué)的另一個(gè)例證。

在一次例行體檢中，一位女性接受了乳腺癌的X光檢測(cè)。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，在與該受檢者年齡、家庭病史、體態(tài)等指標(biāo)類似的女性群體中，乳腺癌的發(fā)病率大約是1%。檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性。當(dāng)然，由于誤差的存在，陽(yáng)性并不意味著受檢者必然患病。通過(guò)查閱文獻(xiàn)，醫(yī)生得知對(duì)乳腺癌患者，該檢測(cè)正確地得到陽(yáng)性結(jié)果的概率為79.2%；而對(duì)非乳腺癌患者，該檢測(cè)錯(cuò)誤地得到陽(yáng)性結(jié)果的概率只有9.6%。假設(shè)這兩個(gè)概率與受檢者的年齡、家庭病史、體態(tài)等其他指標(biāo)基本無(wú)關(guān)。請(qǐng)問(wèn)該受檢女性患乳腺癌的概率有多大？

在一項(xiàng)針對(duì)內(nèi)科醫(yī)生的調(diào)查中，大約95%的受訪者認(rèn)為該女性的患病概率在75%上下[6]。然而正確答案卻出乎意料——只有不到8%。

表格2 各個(gè)情況的世界數(shù)目及比例。由于結(jié)果呈陽(yáng)性，我們必處于被標(biāo)記為黃色的792+9504個(gè)世界中。

是否患乳腺癌

檢測(cè)結(jié)果

世界數(shù)目（比例）

是(1%)

陽(yáng)性

(1%×79.2%)

792

(0.00792)

陰性

(1%×20.8%)

208

(0.00208)

否(99%)

陽(yáng)性

(99%×9.6%)

9504

(0.09504)

陰性

(99%×90.4%)

89496

(0.89496)

讓我們站在問(wèn)題里醫(yī)生的角度考慮這一問(wèn)題。首先，我們需要確定所處的樣本空間。再次假想在許多個(gè)（比方說(shuō)，10萬(wàn)個(gè)）平行世界中，這位女性受檢者接受了X光檢測(cè)。在頭1%，即1000個(gè)世界中，該女性患有乳腺癌；在其他99%，即99000個(gè)世界中她則沒(méi)有患病。在頭1000個(gè)世界里，有79.2%，即792個(gè)世界中的檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性；在另外99%的世界中，有99000×9.6%=9504個(gè)世界中的結(jié)果呈陽(yáng)性。既然我們觀測(cè)到的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，我們的樣本空間即是792+9504=10296個(gè)結(jié)果呈陽(yáng)性的世界。在這約一萬(wàn)個(gè)世界中，受檢女性在792個(gè)里確實(shí)患病。因此，該女性的患病概率是792/10296=7.69%。這比調(diào)查中大多數(shù)醫(yī)生的估計(jì)要低出許多。這是因?yàn)樗麄儾](méi)有充分地將乳腺癌的低發(fā)病率（1%）納入考慮。

當(dāng)然，隨著醫(yī)學(xué)的發(fā)展，如今很多疾病篩查的假陽(yáng)性概率可以控制到很低，所以，如果檢測(cè)到陽(yáng)性結(jié)果也不要麻痹大意，一定要以醫(yī)生的判斷為準(zhǔn)。

為什么你的朋友比你更受歡迎？

1991年，根據(jù)上世紀(jì)60年代初在12個(gè)高中采集的學(xué)生社交數(shù)據(jù)，Scott Feld發(fā)表了一篇名為“為什么你的朋友們比你有更多朋友”的論文[6]。作者證明了在幾乎所有的社交網(wǎng)絡(luò)中，平均上來(lái)講，人們的朋友數(shù)目要低于他們的朋友的朋友數(shù)目（見圖1）。在人們發(fā)現(xiàn)這個(gè)悲傷的事實(shí)后，相關(guān)的研究一發(fā)不可收拾，有的研究還提出了一些更強(qiáng)的結(jié)論。比如說(shuō)，對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，他（她）的大多數(shù)朋友要比他（她）有更多的朋友。這個(gè)結(jié)論比Feld提出的平均意義上的結(jié)論要更強(qiáng)，也不總是成立，但在理論和實(shí)證上都有證據(jù)支持[7]。有趣的是，人們似乎對(duì)此毫不自知，甚至傾向于認(rèn)為相比于自己的朋友們，自己擁有的朋友數(shù)目更多[8]。所有類似于“你的朋友們比你有更多朋友”的結(jié)論因此被通稱為“友誼悖論”。

圖1. Feld所研究的一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一名學(xué)生。如果兩個(gè)學(xué)生是朋友，則她們的節(jié)點(diǎn)由一條邊連接。 每個(gè)節(jié)點(diǎn)所擁有的邊的數(shù)目即是該學(xué)生的朋友數(shù)。學(xué)生名字下方的括號(hào)中記錄了她的朋友們的朋友數(shù)的均值和中位數(shù)。有5名學(xué)生（Betty, Jane, Pam, Dale和Tina）的朋友數(shù)比自己朋友的平均朋友數(shù)要低；而只有2名學(xué)生（Sue和Alice）的朋友數(shù)比自己朋友的平均朋友數(shù)要高。

我們現(xiàn)在嘗試用之前講到的條件概率粗略地說(shuō)明為什么我們的朋友可能比我們更善于交友。假設(shè)小明交朋友的能力在人群中處于中游——大約有50%的人比他更善于交朋友，另外50%的人交友能力比他差。小華是小明的朋友。那么，小華的交友能力更可能比小明強(qiáng)還是弱呢？用條件概率的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，我們希望得到在“小華是小明的朋友”的情況下，“小華強(qiáng)于小明”的條件概率——特別地，既然小明的交友能力處在人群中游，這一概率是否仍是1/2？

表格3 列出了小明與小華交友的各種情況。既然小華與小明是朋友，樣本空間由黃色標(biāo)記的情況構(gòu)成。

我們?cè)俅蜗胂笤S多個(gè)等可能的平行世界，每個(gè)世界中有一個(gè)小華的“副本”。因?yàn)樾∶鞯慕挥涯芰μ幱谌巳旱闹杏?，所以在其中一半的世界中，小華強(qiáng)于小明；在另一半世界里，小華弱于小明。我們用下述公式表達(dá)這些世界中小華的交友能力：

頭一半世界中的小華>小明>后一半世界中的小華

既然小明的交友能力已經(jīng)給定，兩人的交友概率與小華的交友能力正相關(guān)。因此，比起后一半世界，在頭一半世界中有更多的小華副本同小明交友，即（見表格3）：

小華強(qiáng)于小明且兩人交友的世界數(shù)(a)>小華弱于小明且兩人交友的世界數(shù)(b)

我們已知小明和小華成了朋友。因此，我們的樣本空間是所有小明與小華交友的世界。所求的概率便是樣本空間中小華強(qiáng)于小明的世界的比例，即

由于a>b，上述比例必然大于1/2。也就是說(shuō)，在小明與小華是朋友的條件下，小華強(qiáng)于小明的概率大于1/2，即小華更有可能比小明更擅長(zhǎng)交友。那么，小華比小明有更多朋友也就不足為奇了。

上面簡(jiǎn)易的推導(dǎo)當(dāng)然不能直接得出“你的朋友們比你有更多朋友”。取決于我們?nèi)绾卧忈屵@一命題，友誼悖論的嚴(yán)格證明可難可易。英文問(wèn)答網(wǎng)站Quora上有一篇關(guān)于友誼悖論的研究現(xiàn)狀的精彩綜述[9]。

在評(píng)論三門問(wèn)題時(shí)，斯坦福大學(xué)的概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)家Persi Diaconis這么說(shuō)道[2] ：“我不太記得我的第一反應(yīng)是什么了……但我知道對(duì)于許多類似的問(wèn)題，我的第一反應(yīng)是錯(cuò)的。” Diaconis同時(shí)是名職業(yè)魔術(shù)師。諳熟幻術(shù)的他這樣總結(jié)：“我們的大腦生來(lái)就不太會(huì)搞概率，所以這么多人弄錯(cuò)也正常。”

幸運(yùn)的是，像三門問(wèn)題這樣的幻術(shù)在人們反復(fù)的討論中不斷地被破解，甚至理解。與這樣的討論相伴的，是人們——從學(xué)者到大眾——對(duì)概率的更為深入的了解。在給瑪麗蓮的信件中，一名小學(xué)老師說(shuō)道：“我們的班級(jí)，以高漲的熱情，驕傲地宣布數(shù)據(jù)支持你的立場(chǎng)?！睙o(wú)論是通過(guò)計(jì)算、模擬，還是實(shí)驗(yàn)，人類擁有超越自身直覺(jué)的手段。

參考文獻(xiàn)

[2] Tierney, John (21 July 1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?". The New York Times

[3] vos Savant, Marilyn (1990 to 1991). "Ask Marilyn". Parade Magazine. URL: http://marilynvossavant.com/game-show-problem/

[4] Rosenthal, Jeffrey S. "Monty hall, Monty fall, Monty crawl." Math Horizons 16.1 (2008): 5-7.

[5] Eddy, David M. "Probabilistic reasoning in clinical medicine: Problems and opportunities." (1982).

[6] Feld, Scott L. "Why your friends have more friends than you do." American Journal of Sociology 96.6 (1991): 1464-1477.

[7] Lattanzi, Silvio, and Yaron Singer. "The power of random neighbors in social networks." Proceedings of the Eighth ACM International Conference on Web Search and Data Mining. ACM, 2015.

[8] Zuckerman, Ezra W., and John T. Jost. "What makes you think you're so popular? Self-evaluation maintenance and the subjective side of the" friendship paradox"." Social Psychology Quarterly (2001): 207-223.

[9] https://www.quora.com/Is-the-friendship-paradox-fallacious