π與最美的數(shù)學(xué)公式

今天我想談?wù)劍泻蛿?shù)學(xué)意義上的的美。

要談?wù)撨@個(gè)，還有比十八世紀(jì)著名的歐拉公式更好的例子嗎？

注意e指的是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。i是虛數(shù)單位，也就是-1的平方根。

這個(gè)公式經(jīng)常被叫做“最美數(shù)學(xué)公式”，不過(guò)其實(shí)歐拉并沒(méi)有真正的確切的把它寫出來(lái)過(guò)。一個(gè)容易誤解人的數(shù)學(xué)命名約定。相反，它是歐拉在證明指數(shù)增長(zhǎng)和圓周運(yùn)動(dòng)的等價(jià)性時(shí)用到的公式的一種特殊情況。這個(gè)公式是這樣的

這個(gè)公式通常被稱為cis函數(shù)，結(jié)合了余弦(cos)和正弦(sin)。theta是希臘字母。

美國(guó)理論物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼稱其為“最引人注目的數(shù)學(xué)公式”。

歐拉社會(huì)的創(chuàng)始人——Ed Sandifer 曾在2007年的一篇好玩的文章中詳細(xì)討論了歐拉超過(guò)四十多年的方法，嘗試去說(shuō)明這個(gè)公式到底在干什么。在這里我將盡量用最少的公式來(lái)講清楚這個(gè)故事。

這個(gè)公式干了什么？

歐拉公式包括了五個(gè)基本的數(shù)學(xué)常數(shù)0,1,i,e和π，以及它們之間的等號(hào)，加號(hào)和指數(shù)，以一種神秘而又有用的方式，組成了一個(gè)七字符的公式。它的等價(jià)形式也可以寫成：

重寫過(guò)的歐拉公式

這個(gè)形式甚至更加簡(jiǎn)潔并且介紹了負(fù)數(shù)。

數(shù)學(xué)的一個(gè)共同特征是：發(fā)現(xiàn)總是首先被使用，然后才是被理解。18世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾寫過(guò)代數(shù)是慷慨的，她經(jīng)常給我們的答案超過(guò)了我們所問(wèn)。

讓我介紹一下構(gòu)造歐拉公式的這些磚塊的2000多年的歷史。你不必去理解確切的數(shù)學(xué)，只要了解一下這些不同元素的不同起源，以及它們是怎么如此緊密地結(jié)合起來(lái)的。

等于 （=）

"="符號(hào)歸因于1557年威爾士科學(xué)家羅伯特·雷科德。數(shù)學(xué)上關(guān)于相等的意思的討論反映了同時(shí)又推動(dòng)了哲學(xué)上關(guān)于確切描述的概念的討論。

英國(guó)著名的邏輯學(xué)家伯特蘭·羅素的例子是金星,稱為晨星和昏星。一個(gè)反復(fù)提及的數(shù)學(xué)例子是0.99999999…和1是否相等。他們是，他們也不是。

零（0）

“0”的標(biāo)記符號(hào)比 "= "更早。但是希臘人也好還是別的民族也好，都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)怎么去演算 0 的法則。一個(gè)數(shù)學(xué)上成熟的“0”的概念歸功于大約公元650年的偉大的印度思想家Brahmagupta.

當(dāng)“0”和另一個(gè)印度發(fā)明：進(jìn)位計(jì)數(shù)法結(jié)合起來(lái)之后，計(jì)算數(shù)字便變得簡(jiǎn)單多了。這種能力直到15世紀(jì)或者更晚才傳到歐洲。

1

沒(méi)有“1”就沒(méi)有先進(jìn)的算法?！?”和“1”一起,我們有了二進(jìn)制記數(shù)法和現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)。美國(guó)理論物理學(xué)家約翰·泰勒把這叫做“來(lái)自一點(diǎn)“（“來(lái)自比特“，英語(yǔ)雙關(guān)，it from bit——譯者）

這進(jìn)一步導(dǎo)致了現(xiàn)代群論，代數(shù)，機(jī)密技術(shù)以及許多許多的其它知識(shí)。

i

虛數(shù)的使用大約開(kāi)始于16到17世紀(jì)。法國(guó)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾就已經(jīng)早早使用過(guò)它了，不過(guò)是以輕視的態(tài)度。

我們現(xiàn)在認(rèn)為理所當(dāng)然的數(shù)學(xué)概念有時(shí)候要花費(fèi)幾個(gè)世紀(jì)才能被接受和理解。難怪學(xué)生反抗虛數(shù)。這先是經(jīng)過(guò)歐拉后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的努力，虛數(shù)才真正的被開(kāi)發(fā)起來(lái)了?！疤摗边@個(gè)詞終于有了一個(gè)積極的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

定義 i 作為-1 的平方根有一個(gè)非常美妙的結(jié)果。那就是一個(gè)n次多項(xiàng)式一定有n個(gè)（復(fù)）根了。比如說(shuō)x^4=(x+1)(x-1)(x-i)(x+i), 它有四個(gè)根。這個(gè)導(dǎo)致了現(xiàn)在所謂復(fù)分析的發(fā)展。

如果沒(méi)有復(fù)數(shù)，大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理（比如量子力學(xué)）都不能工作了。

Pi(π)

π是半徑為1的圓的面積和圓的周長(zhǎng)。偉大的希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287 - 前212)使用這個(gè)結(jié)論得到π近似值為22/7(3.141592…)。

歐拉提出了π的現(xiàn)代定義：即定義泰勒級(jí)數(shù)里面的余弦函數(shù)的最小的正系數(shù)為π/2.這有點(diǎn)復(fù)雜,但如果你只是想象這個(gè)級(jí)數(shù)是一個(gè)非常大的多項(xiàng)式，你會(huì)懂的。

cis函數(shù)是兩個(gè)泰勒級(jí)數(shù)

這里 n!= 1 x 2 x···x n 叫做n的階乘。這個(gè)十七世紀(jì)的另一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

e

常數(shù)“e”起源于十七世紀(jì)，它被定義為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。到小數(shù)點(diǎn)后三位是2.718...，有點(diǎn)像π，這是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

歐拉這位大師不光命名了“π”和“e”，他還意識(shí)到e^x也有一個(gè)花哨的泰勒級(jí)數(shù)。

展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)

然后令theta等于1，給出了一個(gè)關(guān)于e的有效公式。

現(xiàn)在我們知道了所有我們需要知道的磚塊。我們需要對(duì)第二個(gè)公式做的是令theta等于π，利用簡(jiǎn)單的三角函數(shù)，我們知道sin(π)=0和cos(π)=-1，于是一步一步的約掉這個(gè)公式，我們便得到了美麗的第一個(gè)公式了。

什么是數(shù)學(xué)美？

正如你看到的，要看到這個(gè)公式的美我們必須理解這個(gè)公式的元素，至少是大概的理解。

羅素在他的《西方哲學(xué)史》上這樣說(shuō):

“恰當(dāng)?shù)恼f(shuō)，數(shù)學(xué)不僅涵括真理，亦表現(xiàn)最高等的美——這種美冷靜而簡(jiǎn)樸，宛若雕塑，不訴諸我們?nèi)魏稳崛醯谋拘?，沒(méi)有繪畫中亦或音樂(lè)中的華麗絢爛，但是純粹得莊嚴(yán)，只有最偉大的藝術(shù)才能展示其嚴(yán)格的完美。”

大多數(shù)數(shù)學(xué)家都同意，一個(gè)美麗的公式一定是意料不到的，簡(jiǎn)潔的和有用的，有一種專業(yè)數(shù)學(xué)家能夠感知到的高超的巧妙。

如果不得不列出來(lái)的話，大多數(shù)數(shù)學(xué)家會(huì)列出阿基米德，高斯，歐拉作為自古以來(lái)最杰出的五位數(shù)學(xué)思想家。另外兩個(gè)是艾薩克·牛頓(微積分和力學(xué))和波恩哈德·黎曼(黎曼幾何和黎曼假設(shè))。

同時(shí)擁有三位杰出的思想家和基本常數(shù)。難怪歐拉公式被人們崇拜地叫做最美麗的數(shù)學(xué)公式。